Задание 12 ЕГЭ по профильной математике: наибольшее и наименьшее значение функции

Алгоритм исследования функции с помощью производной: точки максимума и минимума, наибольшее и наименьшее значение на отрезке. Разбор задач с многочленом, экспонентой, логарифмом и тангенсом.

Задание 12 бывает двух видов: найти точку максимума или минимума (ответ — значение $x$ ) или найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке (ответ — значение $y$ ). Перепутать их — самый обидный способ потерять балл, поэтому сначала внимательно прочитай вопрос.

Алгоритм

Найди область определения функции.
Найди производную $y'$ и реши уравнение $y' = 0$ .
Определи знак $y'$ слева и справа от каждого найденного корня. Где $y' > 0$ , функция растёт, где $y' < 0$ — убывает.
Смена знака с «+» на «−» — точка максимума, с «−» на «+» — точка минимума.
Для наибольшего или наименьшего значения на отрезке сравни значения функции в экстремумах внутри отрезка и на его концах.

Производные, которые встречаются чаще всего:

\begin{gathered} (x^n)' = n x^{n-1}, \quad (e^x)' = e^x, \\ (\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}. \end{gathered}

И правило для произведения:

(uv)' = u'v + uv'.

Многочлен на отрезке

Найдите наименьшее значение функции

y = x^3 - 12x + 7

на отрезке

[0; 3]

y' = 3x^2 - 12 = 3(x - 2)(x + 2).

Производная равна нулю при $x = 2$ и $x = -2$ . В отрезок $[0; 3]$ попадает только $x = 2$ . Сравниваем значения в этой точке и на концах отрезка:

\begin{gathered} y(0) = 7, \\ y(2) = 8 - 24 + 7 = -9, \\ y(3) = 27 - 36 + 7 = -2. \end{gathered}

Наименьшее из них — $-9$ .

Ответ: −9.

Точка максимума с экспонентой

Найдите точку максимума функции

y = (7 - x)\,e^{x + 2}

По правилу произведения:

\begin{aligned} y' &= -e^{x+2} + (7 - x)\,e^{x+2} = \\ &= (6 - x)\,e^{x+2}. \end{aligned}

Множитель $e^{x+2}$ всегда положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком $6 - x$ : плюс при $x < 6$ и минус при $x > 6$ . Функция сначала растёт, потом убывает — в точке $x = 6$ максимум.

Ответ: 6.

Логарифм на отрезке

Найдите наибольшее значение функции

y = 8\ln(x + 5) - 8x + 3

на отрезке

[-4{,}5; 0]

Функция определена при $x > -5$ — весь отрезок входит в область определения.

\begin{aligned} y' &= \frac{8}{x + 5} - 8 = \\ &= \frac{8 - 8(x + 5)}{x + 5} = \frac{-8(x + 4)}{x + 5}. \end{aligned}

Производная равна нулю при $x = -4$ . Левее этой точки $y' > 0$ , правее — $y' < 0$ , значит, $x = -4$ — точка максимума, и на отрезке функция принимает в ней наибольшее значение:

y(-4) = 8\ln 1 + 32 + 3 = 35.

Обрати внимание: ответ ЕГЭ — конечная десятичная дробь, и число вроде $\ln 2$ в нём остаться не может. Поэтому нужная точка почти всегда та, где аргумент логарифма равен 1.

Ответ: 35.

Тангенс на отрезке

Найдите наибольшее значение функции

y = 4x - 4\operatorname{tg} x + \pi - 9

на отрезке

\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right]

y' = 4 - \frac{4}{\cos^2 x} = -4\operatorname{tg}^2 x \le 0.

Производная не положительна на всём отрезке, значит, функция убывает, и наибольшее значение — на левом конце:

y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\pi + 4 + \pi - 9 = -5.

Слагаемое $\pi$ в условии стоит как раз затем, чтобы сократиться с $4 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)$ . Если в ответе остаётся $\pi$ , скорее всего, выбран не тот конец отрезка.

Ответ: −5.

Типичные ошибки

Вместо точки записано значение (или наоборот). «Точка максимума» — это $x$ , «наибольшее значение» — это $y$ .
Не проверены концы отрезка. Наибольшее значение может быть на краю, как в задаче с тангенсом.
Взят корень производной вне отрезка. В первой задаче $x = -2$ не лежит в $[0; 3]$ и в сравнении не участвует.
Ошибка в производной произведения. $\bigl((7 - x)e^{x+2}\bigr)'$ — это не $-e^{x+2}$ : нужны оба слагаемых.

Тот же навык нужен в задании 8, где производную читают по графику. Все номера экзамена — на странице профильной математики.