Задание 4 ЕГЭ по профильной математике: теория вероятностей

Четыре формулы, которых хватает на всё задание 4, и разбор задач каждого типа — с ответами и типичными ошибками.

В задании 4 нужно найти вероятность простого события: вытащить нужный билет, получить исправный прибор, попасть в нужный день. Ответ — десятичная дробь от 0 до 1. Если получилось число больше 1 или отрицательное, ошибка точно есть.

Что нужно знать

1. Классическое определение

Если все исходы равновозможны, вероятность события $A$ — доля благоприятных исходов среди всех:

P(A) = \frac{m}{n},

где $n$ — число всех исходов, $m$ — число исходов, при которых событие происходит.

2. Противоположное событие

Событие « $A$ не произошло» обозначают $\overline{A}$ . Вместе они покрывают все случаи, поэтому

P(\overline{A}) = 1 - P(A).

Эта формула выручает всегда, когда считать «нужное» дольше, чем «ненужное».

3. Сумма несовместных событий

Если события не могут произойти одновременно (несовместны), вероятность того, что произойдёт одно из них, равна сумме:

P(A + B) = P(A) + P(B).

4. Произведение независимых событий

Если события не влияют друг на друга (независимы), вероятность того, что произойдут оба, равна произведению:

P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B).

Разбор задач

Тип 1. Выбор одного предмета

На полке 40 книг, из них 6 — словари. Наугад берут одну книгу. Найдите вероятность того, что это не словарь.

Всего исходов $n = 40$ . Не словарей $40 - 6 = 34$ — это благоприятные исходы:

P = \frac{34}{40} = 0{,}85.

Ответ: 0,85.

Тип 2. «Больше 7» и «больше 8»

Вероятность того, что на тесте ученик верно решит больше 7 задач, равна 0,81. Вероятность того, что он верно решит больше 8 задач, равна 0,68. Найдите вероятность того, что он верно решит ровно 8 задач.

«Больше 7» — это «ровно 8» или «больше 8». Эти два события несовместны: нельзя решить одновременно ровно 8 и больше 8 задач. По правилу суммы

P(>7) = P(=8) + P(>8),

P(=8) = 0{,}81 - 0{,}68 = 0{,}13.

Ответ: 0,13.

Тип 3. «Хотя бы один»

В холле стоят два кофейных автомата. Каждый к вечеру ломается с вероятностью 0,15 независимо от другого. Найдите вероятность того, что к вечеру хотя бы один автомат исправен.

Считать «хотя бы один исправен» напрямую долго: это три разных случая. Проще найти противоположное событие — «оба сломались». По правилу произведения

P(\text{оба сломались}) = 0{,}15 \cdot 0{,}15 = 0{,}0225,

P(\text{хотя бы один исправен}) = 1 - 0{,}0225 = 0{,}9775.

Ответ: 0,9775.

Тип 4. Жеребьёвка и порядок

На конференции 40 докладов: 16 в первый день, по 12 во второй и третий. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что доклад Анны запланирован на последний день.

Доклад Анны с равными шансами попадает на любое из 40 мест в расписании. Мест в третьем дне — 12:

P = \frac{12}{40} = 0{,}3.

Неважно, какой по счёту выступает Анна и как распределены остальные доклады — считаем только места.

Ответ: 0,3.

Типичные ошибки

Не тот знаменатель. В задаче про словари делят на 40 (все книги), а не на 34 или 6. Знаменатель — всегда число всех исходов.
Сложение вместо умножения. «И то, и другое» для независимых событий — произведение. Сумма нужна для «или» у несовместных событий.
Прямой подсчёт «хотя бы одного». Почти всегда быстрее через противоположное событие «ни одного».
Ответ не проверен на здравый смысл. Вероятность лежит от 0 до 1, а «хотя бы один из двух» не может быть меньше вероятности для одного.

Следующий шаг — задание 5, где те же правила комбинируются в несколько ходов. Остальные номера экзамена — на странице профильной математики.