Задание 6 ЕГЭ по профильной математике: простейшие уравнения

Как решать показательные, логарифмические, иррациональные и тригонометрические уравнения из задания 6 — по шагам, с проверкой и выбором корня.

В задании 6 одно уравнение, и решается оно в 2–3 строки. Сложность не в выкладках, а в деталях: забытая область допустимых значений, лишний корень после возведения в квадрат или не тот корень из нескольких. Ниже — по задаче на каждый вид уравнений.

Общий порядок действий

Определи вид уравнения: показательное, логарифмическое, с корнем, тригонометрическое.
Сведи его к линейному или квадратному.
Проверь найденные корни: подходят ли они под область допустимых значений и само условие.
Перечитай, какой корень просят записать: «меньший», «наибольший отрицательный» и т. п.

Показательное уравнение

Найдите корень уравнения

5^{x-3} = \frac{1}{25}

Запишем правую часть как степень пятёрки:

\frac{1}{25} = 5^{-2}.

Основания равны, значит, равны и показатели:

x - 3 = -2, \quad x = 1.

Ответ: 1.

Логарифмическое уравнение

Найдите корень уравнения

\log_3(2x + 5) = 2

По определению логарифма аргумент равен основанию в степени значения:

2x + 5 = 3^2 = 9, \quad x = 2.

Проверяем область допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным. При $x = 2$ получаем $2 \cdot 2 + 5 = 9 > 0$ — корень подходит.

Ответ: 2.

Уравнение с корнем

Найдите корень уравнения

\sqrt{15 - 2x} = x

Возведём обе части в квадрат:

15 - 2x = x^2, \quad x^2 + 2x - 15 = 0.

По теореме Виета корни $x = 3$ и $x = -5$ . Но возведение в квадрат может дать лишние корни: квадратный корень не бывает отрицательным, поэтому правая часть $x$ должна быть неотрицательной. Корень $-5$ отпадает.

Проверка: $\sqrt{15 - 6} = \sqrt{9} = 3$ — верно.

Ответ: 3.

Квадратное уравнение с выбором корня

Решите уравнение

x^2 - 3x - 28 = 0

. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Дискриминант:

D = 9 + 4 \cdot 28 = 121, \quad x = \frac{3 \pm 11}{2}.

Корни $x = 7$ и $x = -4$ . Меньший из них — $-4$ .

Ответ: −4.

Тригонометрическое уравнение

Решите уравнение

\cos\frac{\pi x}{3} = \frac{1}{2}

. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Косинус равен $\tfrac12$ в точках $\pm\tfrac{\pi}{3}$ с периодом $2\pi$ :

\frac{\pi x}{3} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.

Умножим обе части на $\tfrac{3}{\pi}$ :

x = \pm 1 + 6n.

Выпишем корни возле нуля: $\ldots, -7, -5, -1, 1, 5, 7, \ldots$ Наибольший из отрицательных — $-1$ .

Ответ: −1.

Типичные ошибки

Нет проверки после возведения в квадрат. Лишний корень вроде $-5$ в примере выше — самая частая потеря балла в этом номере.
Забыта область допустимых значений логарифма. Аргумент строго больше нуля, основание положительно и не равно 1.
Записан не тот корень. Если корней два, в ответ идёт один — тот, о котором спрашивают.
Потеряна одна серия в тригонометрии. У косинуса две серии — со знаком «плюс» и со знаком «минус», и нужный корень часто лежит именно во второй.

Похожий алгоритм работает и во второй части: в задании 13 те же уравнения сложнее, а корни ещё нужно отобрать на отрезке. Все номера экзамена — на странице профильной математики.